Campos Gravitatorio y Electrostático

  1. La distancia entre los centros de la Tierra y de la Luna es de unos 3,84×105 Km. La masa de la Luna es 0,012 veces la de la Tierra. Calcular en qué punto, entre la Tierra y la Luna, un objeto se encontraría en equilibrio debido a la atracción de ambos astros. ¿Es estable o inestable el equilibrio?

    Solución: d = 3,46·105 Km. Equilibrio inestable.

  1. Si por alguna causa interna, la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa, a) ¿cuál sería la intensidad de la gravedad en su nueva superficie?; b) ¿se modificaría sustancialmente su órbita alrededor del Sol?; c) ¿cuál sería la nueva duración, en horas, del día?, justifíquese la respuesta.

    Solución: a) g = 4 go ; b) No ; c) 6 horas.

  2. Dos satélites artificiales de masa m0 y 2 m0 describen órbitas circulares del mismo radio r = 2RT, siendo el radio de la Tierra RT. Calcular la diferencia de las energías mecánicas de ambos satélites.

    Solución:

  3. Un satélite artificial de 1,2 t se eleva a una distancia de 6500 km del centro de la Tierra y se le da un impulso mediante cohetes propulso­res para describa una órbita circular alrededor de la Tierra:
    a) ¿qué velocidad deben comunicar los cohetes para que tenga lugar ese movimiento?
    b) ¿cuánto vale el trabajo realizado para llevarlo de la superficie de la Tierra a esa altura?
    c) ¿cuál es la energía total del satélite?
    Datos:   RTierra = 6,36×106 m;    g0 = 9,8 m/s-2

    Solución: a) v = 7.809 m/s ; b) W = -1,61·109 J; c) ET = -3,659·1010 J

  4. Un astronauta hace experimentos con un péndulo de 1 m de longitud en un planeta que tiene un radio que es 7/10 el de la Tierra. Si el período de oscilación del péndulo es de 2,5 s, ¿cuál es la masa del planeta?
    Datos:  R = 6370 Km;    G = 6,67×10-11 SI.

    Solución: M = 1,88·1024 Kg

  5. Calcular el campo gravitatorio debido a una distribución de masa constituida por una esfera hueca de masa m, radio interno r1 y radio externo r2 en tres puntos cuya distancia al centro sean, respectivamente: a) r < r1; b) r1 < r < r2; c) r > r2. (Supongamos constante la densidad o de la esfera.)

    Solución: a) g = 0; b) g =  ; c) g =

  6. Calcular expresiones para el potencial gravitatorio terrestre en tres puntos cuyas distancias r al centro de la Tierra sean, respectivamente: a) r > RT; b) r = RT; c) r < RT. (Se supone la densidad constante).


    Solución: a) V =    ; b) V =  ; c) V =

  7. Considérense cuatro masas puntuales iguales de valor m colocadas en los vértices de un cuadrado de lado 1. Calcular el campo y el potencial: a) en un punto P situado sobre la perpendicular al plano del cuadrado por su centro y a distancia 1; b) en el centro del cuadrado. Calcular además la velocidad de una masa m abandonada en reposo en el punto P al llegar al centro del cuadrado.
    Solución: gp =    ; Vp =  ; b) go = 0 ; Vo =  ; vo =

  8. Supóngase que el Universo estuviera tan sólo constituido por la Tierra y la Luna siendo: mT = 5,98 × 1024 Kg,mL = 7,34 × 1022 Kg,RT = 6,37 × 106 m. Calcular la velocidad de escape de un proyectil que es lanzado perpendi­cularmente al plano de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra. Supóngase la Tierra en reposo. Calcúlese la velocidad de escape en el caso de estar la Tierra sola y compárese. (Tómese la distancia Tierra-Luna igual a 3,89 × 108 m).

    Solución: v1 = 1,11944·104 m/s ; v2 = 1,11933·104 m/s ; v1-v2 = 1,1 m/s

  9. Dos cargas en reposo de 8 y 2 uC están situadas, la primera en el origen de coordenadas y, la segunda, a 400 cm de la primera, sobre el semieje positivo del eje OX. Calcular el potencial y el campo elec­troestático en el punto de coordenadas (4, -3,0), en metros, en el vacío.

    Solución: Vp = 20.400 V; Ec = 4.382,5 N/C ; j = -58,28º

  10. En cada uno de los vértices de la base de un triángulo equilátero de 3 m de lado, hay una carga de 10 uC. Calcular el campo eléctrico y el potencial creado en el tercer vértice, considerando que dichas cargas están en el vacío. Dato: K = 9,109 SI.

    Solución: Vc = 6·104 V ; Ec = 1,73·104 N/C

  11. Una carga puntual de 10-9 C está situada en el origen de coordenadas de un sistema cartesiano. Otra carga puntual de -20 × 10-9 C está situada en el eje Y a 3 m del origen. Calcular:
    a) el valor del potencial electrostático en un punto A situado en el eje X a 4 m del origen.
    b) el campo electrostático en dicho punto;
    c) el trabajo realizado para llevar una carga puntual de 1 C desde el punto A a otro B de coordenadas (4, 3).

    Solución:  a) VA = - 33,75 V; b) ·EA = 6,76 N/C ; j = 129,72º ; c) = 9,45 J.

  12. Dos esferas puntuales iguales, están suspendidas mediante hilos extensibles y de masas despreciables de 1 m longitud cada uno, de un mismo punto. Determínese la carga eléctrica que ha de poseer cada una de ellas para que cada hilo forme un ángulo de 300 con la vertical. ¿Cuál es la tensión del hilo?
    Datos: masa de cada esfera 10 g; K = 9 × 109 N m2 C-2; g = 10 m/s ; cos 300 = 0,867.

    Solución: q = 2,5 mC; T = 0,115 N.

  13. Un campo eléctrico uniforme de valor E = 200 N/C está dispuesto horizontalmente en la dirección del eje X. Se deja en libertad en el origen, y partiendo del reposo, una carga puntual de Q = 3 uC y masa = 0,12 g. Calcular:
    a) la energía cinética de la carga en x = 4 m;
    b) la variación de la energía potencial en el mismo recorrido;
    c) el desplazamiento vertical que ha experimentado la partícula;
    d) la diferencia de potencial eléctrico entre la posición inicial y final de la partícula.
    Datos: g = 9,8 m/s2.

    Solución: a) Ec = 1,08·10-2 J ; b) Ep = -1,08·10-2 J ; y = 7,78 m;

  14. El potencial eléctrico en un punto del eje OX es: V(x) = x2 - 3x. Calcular la intensidad del campo eléctrico y el potencial en el punto x = 4 m.

    Solución: E = -5 N/C; V = 4 v

  15. Una lámina plana infinita tiene una densidad superficial de carga uniforme cuyo valor es 5 × 10-6 C/m2. ¿Cuál será la separación entre dos superficies equipotenciales cuya diferencia de potencial es 5 V?

    Solución: x = 0,0176 mm.

  16. Calcular el campo producido por un dipolo en un punto cualquiera del plano ecuatorial (u = q × d, momento dipolar eléctrico, r distancia del punto, en el plano ecuatorial, al origen situado en el punto de corte del dipolo con el plano ecuatorial).
    Solución: ET =

  17. Un electrón de carga 1,6 × 10-19 C está situado en un campo eléctrico uniforme de intensidad 120 kV/m. Determínese la aceleración del electrón y el tiempo que tarda en recorrer 30 mm desde el reposo. (me = 9,1 × 10-31 kg).

    Solución: a = 2,1·1016 m/s ; t = 1,69 s

  18. Dos placas metálicas horizontales y paralelas están separadas 2 cm. La diferencia de potencial entre ellas es de 120 V. Se pide :
    a) la magnitud del campo eléctrico en el espacio comprendido entre las placas.
    b) la fuerza que actúa sobre un electrón.
    c) la energía que un electrón inicialmente equidistante entre las placas gana al recorrer una distancia de 1 mm en una dirección que forma 30° con las líneas del campo eléctrico.

    Solución: a) E = 6·103 N/C; b) F = 9,6·10-16 N ; c) DE = 0

  19. Una esfera conductora en equilibrio posee una carga superficial de densidad d conocida, homogéneamente distribuida. Se sabe que a una distancia L de su centro, el potencial es 1/10 del potencial de dicha esfera. Calcular :
    a) el radio de la esfera conductora;
    b) la carga eléctrica de la esfera;
    c) el potencial eléctrico de la esfera;
    d) el campo eléctrico en un punto muy próximo a la superficie de la esfera. ¿Cuál será el valor del campo eléctrico en un punto del interior de la misma?

    Solución: a) R = L/10 ; b) Q = 0,04 psL2 ; c) V = sL / 10ereo

  20. Sean dos placas planas y paralelas conductoras, de superficie S, grande en comparación con la distancia que las separa, uniformemente cargadas con densidad +d y -d respectivamente. Supongamos que están separadas por una distancia d, calcular :
    a) el campo en un punto entre las placas;
    b) la diferencia de potencial entre las placas;
    c) Sabiendo que este par de placas forma lo que se conoce como un condensador plano y que la capacidad de un condensador viene dada por la expresión C = Q/V, calcular esta capacidad.
    Solución: a) Et =  ; b) V+ - V- =  ; c) C = ereo S/d

  21. Dado un par de superficies cilíndricas coaxiales conductoras, de radios r1 y r2  (r1 < r2) de altura h, grande comparada con r2 - r1 , cargadas con cargas +Q y -Q respectivamente. Calcular :
    a) el campo en un punto del espacio entre las superficies cilíndricas;
    b) la diferencia de potencial entre las superficies cilíndricas;
    c) Sabiendo que dichas superficies constituyen un condensador cilíndrico y su capacidad viene dada por C=Q/V , calcula una expresión de la misma.

    Solución: a) E =  ; b) V+ - V- =  ; c)

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