Movimiento Armónico Simple:

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E 1.- Un punto material oscila con un movimiento armónico simple de 20 Hz de frecuencia. Calcular su periodo y su pulsación.

E 2.- Un móvil describe un mas. De 5 cm de amplitud y 1,25 s de periodo. Escribir la ecuación de su elongación sabiendo que en el instante inicial la elongación es máxima y positiva.

E 3.- Un móvil describe un mas entre los puntos P1 (1,0) y P2 (-1,0). La frecuencia del movimiento es 0,5 s-1 e inicialmente se encuentra en el punto P2. Hallar:

a) la pulsación del movimiento.

b) La ecuación de la elongación en función del tiempo

c) Posición del móvil 0,5 segundos después de comenzado el movimiento.

d) Velocidad del móvil en función del tiempo.

e) Velocidad del móvil en un punto de abscisa 0,5

f) Velocidad máxima.

E 4.- Un móvil describe un mas, siendo los puntos extremos de su trayectoria el P₁ (-1,2) y P₂ (3,2), coordenadas expresadas en metros. Sabiendo que inicialmente se encuentra en P₂ y que su aceleración viene dada en todo momento por la expresión:

a = -p²·s (SI), determinar:

a) Ecuación de la elongación en función del tiempo.

b) Posición del móvil al cabo de 1 segundo.

c) Ecuación de la velocidad en función del tiempo.

d) Velocidad del móvil al cabo de 1,5 segundos.

E 5.- Un móvil describe un movimiento vibratorio armónico simple de amplitud A. ¿Qué distancia recorre en un intervalo de tiempo igual a un periodo? Razona la respuesta.

E 6.- La elongación de un móvil que describe un mas, viene dada, en función del tiempo, por la expresión: s = 2·cos(p·t +p/4) (SI). Determinar:

a) Amplitud, frecuencia y periodo del movimiento.

b) Fase del movimiento en t = 2s.

c) Velocidad y aceleración del móvil en función del tiempo.

d) Posición, velocidad y aceleración del móvil en t = 1 s.

e) Velocidad y aceleración máximas del móvil.

f) Desplazamiento experimentado por el móvil entre t = 0 y t = 1 s.

E 7.- El chasis de un automóvil de 1200 kg de masa está soportado por cuatro resortes de constante elástica 20000 N/m cada uno. Si en el coche viajan cuatro personas de 60 kg cada una, hallar la frecuencia de vibración del automóvil al pasar por un bache.

E 8.- Una masa de 5 kg se cuelga del extremo de un muelle elástico vertical, cuyo extremo esta fijo al techo. La masa comienza a vibrar con un periodo de 2 segundos. Hallar la constante elástica del muelle.

E 9.- Un resorte de acero tiene una longitud de 15 cm y una masa de 50 gramos. Cuando se le cuelga en uno de sus extremos una masa de 50 gramos se alarga, quedando en reposo con una longitud de 17 cm. Calcular:

a) la constante elástica del resorte.

b) La frecuencia de las vibraciones si se le cuelga una masa de 90 gramos y se le desplaza ligeramente de la posición de equilibrio.

E 10.- Una masa de 200 gramos unida a un muelle de constante elástica K = 20 N/m oscila con una amplitud de 5 cm sobre una superficie horizontal sin rozamiento.

a) Calcular la energía total del sistema y la velocidad máxima de la masa.

b) Hallar la velocidad de la masa cuando la elongación sea de 3 cm.

c) Hallar la energía cinética y potencial elástica del sistema cuando el desplazamiento sea igual a 3 cm

d) ¿Para qué valores de la elongación la velocidad del sistema es igual a 0,2 m/s?

E 11.-¿En qué posiciones y en qué instantes se hacen iguales las energías cinética y potencial elástica de un cuerpo que describe un mas?

E 12.- Cuando la elongación de un móvil que describe un mas es la mitad de la amplitud, ¿qué porcentaje de su energía total corresponde a la energía cinética y qué porcentaje a la potencial elástica?

E 13.- Del extremo de un muelle cuelga una masa de 500 gramos. Si a continuación se le añade otra de 500 gramos el muelle se alarga 2 cm. Al retirar esta segunda masa, la primera comienza a oscilar con un mas. ¿Cuál será la frecuencia de estas oscilaciones?

E 14.- La longitud de un péndulo que bate segundos en el ecuador terrestre es 0,9910 m, y la del que bate segundos en el polo es 0,9962 m. ¿Cuánto pesará un cuerpo situado en el ecuador terrestre si en el polo pesa 10 Kg?

E 15.-¿En qué casos puede considerarse un movimiento pendular como vibratorio armónico simple?

E 16.- Demuestra que la fórmula del periodo de oscilación de un péndulo simple es homogénea.

E 17.- Dos péndulos tienen distinta longitud: la de uno es doble que la del otro. ¿Qué relación existe entre sus periodos de oscilación?

E 18.- Un péndulo está constituido por una masa puntual de 500 gramos suspendida de un hilo de 1 m de longitud.

a) Calcula el periodo de oscilación de ese péndulo para pequeñas amplitudes.

b) Si se desplaza la masa puntual un ángulo de 60º respecto a su posición de equilibrio, ¿con qué velocidad pasará de nuevo por dicha posición?

E 19.-¿Por qué las guitarras eléctricas no van provistas de caja de resonancia?

E 20.- Determina de forma aproximada, el valor de la constante elástica de los amortiguadores de un automóvil, conociendo su carga y el tiempo invertido en una oscilación.

P 1.- ¿Qué transformaciones energéticas tienen lugar en un cuerpo que posee un movimiento vibratorio armónico? ¿Y en el caso de un cuerpo que oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio?

P 2.- Si se duplica la pulsación de un mas, indica como varía:

a) su periodo.

b) Su frecuencia.

c) La amplitud.

d) La fase inicial. Razona la respuesta.

P 3.- Dos cuerpos de igual masa se cuelgan de dos resortes que poseen la misma constante elástica, pero tales que la longitud del primero es doble que la del segundo. ¿Cuál de ellos vibrará con mayor frecuencia? ¿Por qué?

P 4.- En un mas la velocidad v, la pulsación w, la amplitud A y la elongación s se relacionan según la siguiente expresión:  Determinar n por análisis dimensional.

P 5.- Un móvil animado de un mas tiene una aceleración de 5 m/s2 cuando su elongación es 5 cm. ¿Cuánto vale su periodo?

P 6.- Un punto material de 2,5 kg experimenta un movimiento armónico simple de 3 Hz de frecuencia. Hallar:

a) su pulsación.

b) Su aceleración cuando la elongación es de 5 cm.

c) El valor de la fuerza recuperadora para esa elongación.

P 7.- Un bloque de 1 kg se cuelga de un resorte de constante elástica K = 25 N/m. Si desplazamos dicho bloque 10 cm hacia abajo y luego se suelta:

a) ¿Con qué velocidad pasa por la posición de equilibrio?

b) ¿Cuál es el periodo de las oscilaciones que realiza?

P 8.- Una masa de 150 gramos se suspende del extremo de un resorte y se observa que la longitud del mismo se alarga 0,4 m. ¿Cuánto vale la constante elástica del resorte? Si después se abandona a sí misma, desplazándola hacia abajo, el resorte oscila. ¿Cuánto vale el periodo de oscilación?

P 9.- Cuando sobre un muelle elástico actúa una fuerza de 50 N, experimenta un alargamiento de 4 cm. Calcular el trabajo que es necesario realizar para estirar el muelle 10 cm.

P 10.- Al apoyar con velocidad nula un cuerpo de 20 kg de masa sobre un muelle elástico dispuesto verticalmente, este se comprime 10 cm. Calcular la deformación que experimenta dicho muelle si el cuerpo se deja caer desde 2 m por encima de él.

P 11.- Se cuelga una masa de 100 gramos de un resorte cuya constante elástica es k = 10 N/m, se la desplaza luego 10 cm hacia debajo de us posición de equilibrio y se la deja luego en libertad para que pueda oscilar libremente. Calcular:

a) El periodo del movimiento.

b) La ecuación del movimiento.

c) La velocidad y la aceleración máxima.

d) La aceleración cuando la masa se encuentra 4 cm por encima de la posición de equilibrio.

e) Sus energías cinética y potencial elástica en ese punto.

P 12.- Un móvil describe un movimiento armónico simple de 20 cm amplitud y 2,5 segundos de periodo. Escribir la ecuación de su elongación en los casos siguientes:

a) El tiempo empieza a contarse cuando la elongación es máxima y positiva.

b) Ídem, cuando la elongación es nula y el movimiento hacia la derecha.

c) Ídem, cuando la elongación es nula y el movimiento hacia la izquierda.

P 13.- Un móvil que ejecuta un mas recorre 6 m en una oscilación completa y su aceleración máxima es de 150 m/s². Escribe la ecuación de su elongación, sabiendo que se comienza a contar el tiempo cuando la elongación es 0,75 m, en su movimiento hacia la derecha.

P 14.- Se cuelga de un resorte un cuerpo de 500 gramos de masa y se estira luego hacia abajo 20 cm, dejándolo oscilar a continuación. Se observa que en estas condiciones el periodo de oscilación es de 2 segundos.

a) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo cuando pasa por la posición de equilibrio?

b) Si se suelta el cuerpo del resorte, ¿cuánto se acortará este?

P 15.- Una masa de dos gramos realiza oscilaciones con un periodo de 0,5 s a ambos lados de su posición de equilibrio. Calcula:

a) Constante elástica del movimiento.

b) Si la energía del sistema es de 0,05 J, ¿cuál es la amplitud de las oscilaciones?

c) ¿Cuál es la velocidad de la masa en un punto situado a 10 cm de la posición de equilibrio?

P 16.- Sostengo con la palma de la mano abierta una caja de cerillas. De repente comienzo a mover la mano verticalmente con un movimiento armónico simple de 5 cm amplitud y frecuencia progresivamente creciente. ¿Para qué frecuencia dejará la caja de cerillas de estar en contacto con la mano?

P 17.- Una partícula de 1 mg de masa ejecuta un movimiento vibratorio armónico simple que puede expresarse por la ecuación: s = A·sen(2p(1/T)), siendo el periodo de 1/100 de segundo. Cuando t = T/12, la velocidad vale v = 31,4 cm/s. Calcula la amplitud del movimiento y la energía total de la partícula.

P 18.- Demostrar que la fórmula del periodo de oscilación de un péndulo simple es homogénea.

P 19.- El periodo de un oscilador armónico depende de la masa; y, en cambio, el de un péndulo, no ¿puedes explicar la razón?

P 20.-¿Es armónico el movimiento de un péndulo? ¿Qué condiciones ha de cumplir para que lo sea?

P 21.- Razona si es cierta o falsa la siguiente afirmación: “En el movimiento de un péndulo la componente del peso en la dirección del hilo se contrarresta en todo momento con la tensión de este”

P 22.- Un péndulo simple de 4 m de longitud oscila con un periodo de 4 segundos. ¿Cuál será la longitud de otro péndulo que oscila en el mismo lugar de la experiencia con un periodo de 2 segundos?

P 23.- Un péndulo simple está constituido por una masa puntual de 500 gramos suspendida de un hilo de 1 m de longitud.

a) Calcula el periodo de oscilación de ese péndulo para pequeñas amplitudes.

b) Si se desplaza la masa puntual un ángulo de 60º respecto a su posición de equilibrio, ¿con qué velocidad pasará de nuevo por dicha posición de equilibrio?

P 24.- Del techo de una habitación cuelga un péndulo simple que realiza 50 oscilaciones completas en 200 segundos. Si la bolita que constituye el péndulo está situada a 20 cm del suelo, ¿qué altura tiene el techo?

P 25.- Imagina que por un defecto de diseño las vigas y el suelo de los distintos pisos de un edificio tienen una frecuencia de vibración natural similar a la de una persona al caminar. ¿Qué sucedería cuando caminásemos normalmente en el interior de uno de los pisos?

Soluciones a los problemas y cuestiones:

SE 1.- 

a)

b) w = 2pu = 2p·20 s-1 = 40p rad/s.

SE 2. Calculamos en primer lugar la pulsación del movimiento:

La ecuación general del mas escrita en función del seno es: s = A·sen (wt + j₀) y teniendo en cuenta los valores de A y de w la expresamos como: s = 0,05sen(1,6pt + j₀)

Para el cálculo de la fase inicial, tenemos en cuenta que en el instante inicial, la elongación es máxima y positiva. Así la ecuación se convierte en

0,05 = 0,05senj₀ , de donde resulta que sen j₀ = 1, y por tanto j₀ = p/2.

Con esto la ecuación del mas queda: s = 0,05sen(1,6pt +p/2) (SI)

Si hubieramos considerado la ecuación del mas en la forma:

s = A·cos (wt + j₀) =0,05·cos (1,6pt + j₀) la sustitución de las condiciones iniciales nos llevaría a la expresión: s =0,05·cos 1,6pt

SE 3.

a) w = 2pu = 2p·0,5 s-1 = p rad/s.

b) La ecuación general del mas escrita en función del seno es: s = A·sen (wt + j₀). Considerando los valores de A = 1 y w = p rad/s, la ecuación anterior se convierte en:

s = A·sen (pt + j₀). Como en el instante inicial la elongación es máxima y negativa, sustituyendo estos datos, la ecuación se convierte en: -1 = sen j₀ ; j₀ = -p/2; Con esto la ecuación queda de la siguiente forma: s = sen(pt - p/2) (SI)

c) Sustituyendo en la ecuación anterior t = 0,5 s , queda:

s = sen(p·0,5 - p/2) = sen 0 = 0. El móvil se encuentra en la posición de equilibrio.

d) Derivando la ecuación de la elongación obtenemos la velocidad:

v = p·cos(pt - p/2) (SI)

e) En el punto de abscisa 0,5, la velocidad será:

La velocidad del móvil será positiva cuando pase por dicho punto moviéndose hacia la derecha, y negativa cuando se mueva hacia la izquierda.

f) La velocidad máxima será: . El móvil posee esta velocidad al pasar por la posición de equilibrio: positiva cuando se dirige hacia la derecha y negativa cuando lo hace hacia la izquierda.

SE 4.- Comparando la expresión general de la aceleración ( a = -w²·s) con la particular que corresponde a este movimiento ( a = - p²·s ), resulta: w = p rad/s.

Por otra parte, la distancia entre las dos posiciones extremas es el doble de la amplitud: P₁P₂ = 4 m = 2 A. Por tanto A = 2 m, y la posición de equilibrio (centro de vibración) será el punto P₀ (1,2)

La ecuación de este movimiento armónico es: s = 2 sen (pt + j₀)

Para el cálculo de j₀ tenemos en cuenta que en el instante inicial el móvil se encuentra en P2 (s = 2). Sustituyendo obtenemos: 2 = 2·sen j₀ , de donde j₀ = p /2. Por tanto la ecuación de la elongación es: s = 2 sen (p + p/2) = 2 sen (3p/2) = -2

Por tanto el móvil se encuentra en el punto extremo de su trayectoria hacia la izquierda, es decir en el punto (-1, 2).

La ecuación de la velocidad se obtiene derivando la elongación respecto al tiempo:

 v = 2p sen (pt + p/2) (SI)

La velocidad al cabo de 1,5 segundos es: v = 2p sen (pt + p/2) =2pcos2p = 2p m/s.

SE 5.- El punto vibrante recorre, si el tiempo de recorrido es un periodo, 4 veces la amplitud, según los siguientes pasos (tomando como ejemplo un movimiento en el eje vertical):

a) Sube desde la posición de equilibrio

b) Baja desde la máxima elongación a la posición de equilibrio.

c) Baja desde la posición de equilibrio hasta la máxima elongación

d) Sube desde la máxima elongación hasta la posición de equilibrio.

SE 6.- Por comparación con la ecuación general s = A·cos (wt + j₀) se deduce que:

A = 2 m

w = p y como w = 2pu ; p = 2pu ; u = 0,5 s^-1

T = 1/u = 1/0,5 = 2s.

La fase viene dada, en este caso por j = pt + p/4 ; j = 2p + p/4 = 9p/4 rad

Derivando la ecuación de la elongación respecto a la variable t tenemos la ecuación de la velocidad:

v = ds/dt =-2p·sen (pt + p/4) (SI)

Derivando de nuevo respecto a la variable t obtenemos la ecuación de la aceleración:

A = dv/dt = -2p²·cos (pt + p/4) (SI)

Y sustituyendo en las ecuaciones correspondientes: s = -1,4142 m. ; v = 4,44 m/s. ; a = 13,96 m/s²

La velocidad máxima se adquiere cuando el seno del ángulo vale 1; vmax = ±6,29 m/s y la aceleración máxima cuando el coseno del ángulo vale 1; amax = ±19,72 m/s²

El desplazamiento Ds viene dado por la diferencia entre s para t = 1 y s para t = 0.

El valor de s para t = 1 es s1 = - 1,4142 m, y para t = 0 es s0 = 2m·cos p/4 rad = 1,4142m ; Ds = -1,4142 -1,4142 = -2,83 m

SE 7.-Suponiendo que el peso se encuentra distribuido uniformemente, cada resorte soportará la cuarta parte de la carga. Como la masa total es 1.440 kg, a cada resorte le corresponderán 360 kg; y la frecuencia de las oscilaciones será:

SE 8.- De acuerdo con la expresión:

SE 9.- El alargamiento de un resorte una vez colocada la masa de 50 gramos es de 17 -15 = 2 cm. Aplicando la ley Hooke:

Al añadir una masa de 90 gramos, la masa total suspendida es m´ = 0,14 Kg. El periodo de oscilación es:

y la frecuencia u = 1/T = 1/0,47 = 2,13 s.

SE 10.- a) La energía total del sistema es: E_T = (1/2) KA² = (1/2) 20·0,05² = 0,025 J.

La máxima velocidad de la masa tendrá lugar en la posición de equilibrio ( s = 0 ), en la que se cumple: E_T = Ec_max = (1/2) mv2 _max = 2,5·10^-2 J ; por tanto vmax = 0,5 m/s

b) la pulsación del movimiento armónico es

y la velocidad de la masa en la posición indicada: , donde los signos positivo y negativo indican que la masa en ese instante podría estar moviéndose hacia la izquierda o hacia la derecha.

c) Ec = (1/2) mv² = 1,6·10^-2 J

Epx = (1/2) Ks² = 0,9·10^-2 J

d) , sustituyendo los valores resulta que s = ±4,58·10^-2 m = ±4,58 cm.

SE 11.- La energía cinética de un oscilador armónico viene dada por la expresión

Ec = (1/2) k(A² – s²) y la potencial elástica Epx = (1/2)ks². Si de acuerdo con el problema, ambas han de ser iguales: (1/2) k(A² – s²) = (1/2)ks², tenemos que s =A/Ö2

SE 12.- Si s = A/2, la energía elástica en ese instante vale: Epx = 0,5·A²/4 = (1/8)A² y la energía cinética: Ec = 0,5·(A² – A²/4) = (3/8) A²

La energía cinética es tres veces mayor que la elástica; lo que traducido en términos porcentuales indica que la energía cinética, en el caso que cita el problema, representa el 75% de la total y la elástica el 25%.

SE 13.- La constante elástica del resorte es:

El periodo de vibración:

Y la frecuencia: u = 1/T = 1/0,281 = 3,5 s^-1

SE 14.- Un péndulo que bate segundos es aquél cuyo periodo de oscilación es 2 s. A partir de los datos  del problema podemos calcular el valor de g en el ecuador y en el polo:

 ;

Como el peso del cuerpo viene dado por P = mg y el cuerpo dado, en el polo, pesa 98,1 N, su masa será:

El peso de esta masa situada en el ecuador será: P_ecuador = m·g_ecuador = 9,978·9,781 = 97,59 N

SE 15.- Únicamente en aquellos casos en los que la amplitud de la oscilación sea menor de 5º.

En la práctica si la amplitud no supera los 15º el movimiento del péndulo simple puede, sin grave error, considerarse asimismo vibratorio armónico.

SE 16.-

SE 17.- Para los péndulos:

Y dividiendo ambas expresiones: T₁ / T₂ = 1/Ö2

SE 18.- a) Aplicando la fórmula del péndulo para pequeñas amplitudes de oscilación:

b) Al desplazarse la masa puntual un ángulo de 60º asciende a una altura Y cuyo valor es 1 – X . El valor de X se deduce a partir del triángulo rectángulo OAB; cos60º = X/1m

X = cos 60º = 0,5 m

Al oscilar libremente el péndulo, la energía potencial de la bolita en la posición B será igual a la cinética al pasar por la posición de equilibrio. mgY = (1/2) mv², de donde v = 3,16 m/s

SE 19.- El amplificador conectado a la guitarra hace inútil la caja de resonancia.

SE 20.-  A partir de la expresión

SP 1.- Tanto en un caso como en el otro, en la posición de máxima elongación el cuerpo únicamente posee energía potencial (gravitatoria o elástica, según el caso). En cualquier punto situado entre el de máxima elongación y la posición de equilibrio el cuerpo posee energía cinética y potencial (elástica o gravitatoria). Al pasar por la posición de equilibrio únicamente se considera energía cinética (se entiende esta posición como “nivel cero” de energía potencial).

SP 2.- a) El periodo se hace la mitad (T es inversamente proporcional a la pulsación). B) La frecuencia se hace el doble (La frecuencia es inversa del periodo). C) y d) La amplitud y la fase inicial son independientes de la pulsación.

SP3.- Teniendo en cuenta la expresión del periodo de vibración vemos que éste únicamente depende de la masa que vibra (en este caso es la misma en ambos resortes) y de la constante elástica del resorte (que también es la misma para los dos propuestos).

Como la frecuencia es la inversa del periodo y éste es el mismo en los dos casos, también lo será la frecuencia.

SP 4.-

Para que la ecuación sea homogénea: L·T^-1 = L·T^-n. De donde n = 1.

SP 5.- El valor de la aceleración es proporcional al de la elongación, siendo el cuadrado de la pulsación la constante de proporcionalidad: a = w²·s de donde

SP 6.- La pulsación se relaciona con la frecuencia mediante la expresión:

a) w = 2pu = 2p·3 = 6p rad.

b) a = w²·s = (6p)²·0,05 = 17,8 m/s.

c) F = m·s = 2,5 ·17,8 = 44,4 N. de prescinde del signo “-“ en la expresión de la aceleración pues tal signo únicamente indica que el sentido de esta magnitud es contrario al de la elongación.

SP 7.- a) Prescindiendo de la energía gravitatoria se admite que la energía potencial elástica del resorte deformado se transforma íntegramente en cinética al pasar por la posición de equilibrio:

SP 8.- Aplicando la expresión correspondiente a la ley de Hooke y despejando K obtenemos:

El periodo de oscilación viene dado por:

SP 9.- Como el alargamiento es  proporcional a la fuerza deformadora, se tiene, de acuerdo con la ley de Hooke: F = K·x; de donde K = F/x = 1.250 N/m

El trabajo necesario para estirar el muelle 10 cm es:

SP 10.- La constante del muelle es:

K = F/s = (20 Kg/ 10 cm)·(9,8 N / 1 Kg)·(100 cm/ 1 m) = 1960 N/m.

Cuando dejamos caer un cuerpo de masa m sobre el muelle, desde una altura h, y el muelle se acorta en una longitud a, la energía potencial gravitatoria del cuerpo mg(h+a), se invierte en trabajo de deformación del muelle. Este trabajo tiene por valor:

y sustituyendo en esta ecuación los valores numéricos del enunciado del problema: 5·a2 –a -2 = 0 y resolviendo a = 0,74 m. (La otra solución carece de significado físico)

SP 11.-

b) la amplitud del movimiento es el máximo desplazamiento del punto vibrante y la velocidad angular (pulsación) se deduce a partir del periodo: w =2p / T = 10 rad /s

Por otra parte hay que considerar que el movimiento se inicia con una fase inicial de 90º hacia abajo (negativo). Por tanto la ecuación del movimiento es:

s = A·sen(wt +j)= 0,1·sen(10·t +p/2)

c) La maxima velocidad: v_max = ±Aw = 0,1m·10m/s = ±1 m/s.

La máxima aceleración: a_max = ±Aw² = 0,1m·(10m/s)2 = ±10 m/s²

d) a = - w²·s = -10²·0,04 = -4m/s²

e) Ec = (1/2)k(A² - s² )= 0,042 J

Ep = (1/2)k·s² = 0,008 J

SP 12.- a) La amplitud A del movimiento es 0,2 m y la pulsación: w = 2p / T = 0,8p rad/s.

Si se empieza a contar el tiempo cuando el móvil está en la máxima elongación positiva es que hay una fase inicial de 90º. La ecuación del movimiento es:

s = 0,2·sen(0,8p·t +p/2) (SI)

b) En este supuesto el origen de tiempos coincide con el de fases, y por tanto, no hay fase inicial. La ecuación del movimiento es: s = 0,2·sen 0,8p·t (SI)

c) En este caso hay una fase inicial de 180º: s = 0,2·sen(0,8p·t +p) (SI)

SP 13.- Si el recorrido de una oscilación completa es 6 m, la amplitud del movimientos es 6 m/4 = 1,5 m. El valor de la pulsación se deduce a partir de la ecuación de la aceleración:

Si se empieza a contar el tiempo cuando el punto vibrante tiene una elongación de 0,75 m la fase a la que corresponde esa elongación es 30º positivos; o, lo que lo mismo p/6 rad. La ecuación del movimiento será: s = 1,5·sen(10·t +p/6) (SI)

SP 14.- A partir de la expresión matemática del periodo se deduce el valor de K:

Aplicando la ley de Hooke:

La energía potencial elástica habrá de ser igual a la cinética:

SP 15.- a) A partir de la expresión del periodo:

b) La energía del sistema es la que corresponde al estado de máxima amplitud y se manifiesta como energía elástica: E_T = (1/2)KA² , de donde:

c) Teniendo en cuenta que la energía cinética en el punto pedido es la diferencia entre la energía total del sistema y la elástica en dicho punto: v = 6,96 m/s.

SP 16.- Cuando baja la palma de la mano, la caja de cerillas, a partir de la posición de equilibrio, se encuentra sometida a la aceleración de la gravedad, g, constante en todo momento, y dirigida verticalmente hacia abajo, y a la aceleración correspondiente al movimiento armónico simple: w²s = 4p²v²s, dirigida hacia arriba y que alcanza el valor máximo en el extremo de la trayectoria: a_max = 4p²v²A.

Cuando esta última aceleración iguale o supere a la de la gravedad la caja de cerillas dejará de estar en contacto con la mano. Eso sucederá cuando:

4p²v²A = g Û v = 2,23 s^-1

SP 17.- a) la ecuación de la velocidad es: v = Aw cos wt Û A = 5,8·10^-4 m

b) ET = (1/2)mA2w2 = 6,6·10^-8 J

SP 19.- La pregunta está formulada de forma capciosa. De hecho, tanto el periodo de oscilación en un péndulo como en un oscilador siempre es dependiente de la masa del punto vibrante y oscilante; lo que sucede es que en un péndulo simple y en amplitudes menores de 5º si se da la independencia de la masa para el cálculo del periodo.

SP 20.- El movimiento de un péndulo simple se asimila a un vibratorio armónico en amplitudes menores a los 5º.

SP 21.- La tensión del hilo únicamente contrarresta al peso del cuerpo que oscila en los siguientes casos:

a) el cuerpo está en reposo y en su posición de equilibrio.

b) Cuando el cuerpo está en la amplitud de vibración (oscilación) la tensión del hilo contrarresta a la componente del peso en esa dirección (la del hilo).

c) En los demás casos la tensión contrarresta a la componente del peso en la dirección del hilo y a la fuerza centrífuga debida a la velocidad del cuerpo.

SP 22.- Aplicando la expresión del periodo a cada uno de los dos péndulos se obtiene:

Dividiendo las dos expresiones l´ = 1 m.

SP 24.- El periodo de oscilación del péndulo es T = 200 / 50 = 4s

A partir de la expresión del periodo se deduce la longitud del hilo que soporta a la bolita oscilante:

La altura del techo sobre el suelo es la suma de la longitud del péndulo (3,96 m) y la de la altura a la que se encuentra la bolita sobre el suelo (0,2 m). En total 4,17 m.

SP 25.- Si el edificio entra en resonancia con el caminar de los moradores puede provocarse su destrucción (hundimiento).