OTROS PROBLEMAS DE MOVIMIENTO ONDULATORIO.

1. La ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda es: y = 25·sen donde x se expresa en cm y t en segundos. Determinar la amplitud, la longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación de la onda. Determinar la velocidad transversal de un punto sobre dicha cuerda.

Solución: A = 25 cm; l = 1,6 cm; f = 1/T = 0,40 Hz; vp = 0,64 cm/s; v_t = 20p·cosp(0,80t-1,25x) cm/s.

2. Un foco puntual realiza un movimiento periódico representado por la ecuación: y = 4·cos2p( ) (cm). Se pide determinar:

a) La velocidad de la onda.

b) La diferencia de fase para dos posiciones de la misma partícula cuando el intervalo de tiempo transcurrido es de 1 seg.

c) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos partículas separadas 210 cm.

d) Si el desplazamiento, y, de una determinada partícula en un instante determinado es de 3 cm, determinar cuál será su desplazamiento 2 segundos más tarde.

Solución: a) 40 cm, sentido contrario al positivo del eje OX; b) 60º; c) 315º; d) -3,79 cm

3. Dos ondas transversales polarizadas con el mismo plano de polarización, se propagan en una cuerda en la misma dirección, tienen la misma frecuencia (100 Hz), longitud de onda (2 m) y amplitud (0,02 m), pero están desfasadas en 60º. Calcular:

a) La velocidad de propagación de las ondas en esa cuerda.

b) La amplitud de la onda resultante y su ecuación de onda.

c) La velocidad máxima de un punto cualquiera de la cuerda.

Solución: a) 200 m/s; b) y = 0,0346 sen ( 200pt - px + p/6); c) v = 21,73 cos( 200pt - px + p/6)

4. Dos focos sonoros emiten simultáneamente ondas de la misma frecuencia f = 425 Hz, siendo la velocidad del sonido en el aire c = 340 m/s. Si colocamos un aparato registrador de sonidos a x₁ = 100 m del primer foco y a x₂ = 101,2 del segundo ¿se registrará sonido en el aparato?

Solución: La longitud de onda del sonido emitido por ambos focos es l = c/f = 0,80 m. Para que el aparato no registrara sonido sería preciso que en el punto donde está situado se produzca un mínimo de interferencia. De otra manera, R deberá estar situado en un punto cuya diferencia de distancias a S₁ y S₂ sea igual a un múltiplo impar de semilongitudes de onda: x₂ – x₁ = (2K + i) l/2. Según los valores dados: x₂ – x₁ = 101,2 – 100 = 1,2 m; como l/2 = 0,40 m  luego x₂ – x₁ = 1,2 = 3·0,4 = 3·l/2, no registrará sonido.

5. Los puntos O₁ y O₂ representan dos focos sonoros que emiten ondas de la misma frecuencia f =100 Hz y amplitudes respectivas A₁ = 4 cm y A₂ = 6 cm. Las distancias x₁ y x₂ son, respectivamente, 100 m y 103,5 m. La velocidad de propagación del sonido en el aire es c = 350 m/s. Determinar la vibración del punto P.

Solución: 10sen200p(t- 1/3,5)

6. Un foco sonoro S de pequeñas dimensiones que emite un sonido de frecuencia f, está sumergido en un lago a profundidad h. A gran distancia de este foco, un receptor está sumergido en el mismo lago a una profundidad variable y. Cuando el receptor se desplaza sobre su vertical a una distancia fija D del foco sonoro, percibe periódicamente sonidos de máxima y mínima intensidad. A) explicar el fenómeno. B) Calcular la distancia vertical entre dos posiciones consecutivas del receptor correspondientes a dos máximos. Datos: velocidad de propagación del sonido en el agua del lago c = 1.437 m/s. D = 700 m; h = 20 m; f = 1.800 Hz.

Solución: a) Al estar el foco sonoro muy distante del receptor, el ángulo incidente formado por la dirección de propagación de la onda incidente (rayo incidente) con la normal a la superficie será superior al ángulo límite y, por tanto, la superficie se ecomporta como un reflector perfecto. Al receptor llegarán simultáneamente la onda directa y la reflejada e la superior, produciendo el fenómeno de interferencia en la posición del receptor. b) 13,97 m.

7. Una onda estacionaria tiene por ecuación: y = 10·cos(p/6)x·cos (10pt) donde x e y se miden en cm y t en segundos. Calcular:

a) La amplitud y velocidad de las ondas componentes.

b) Distancia entre dos nodos y entre un nodo y un vientre.

c) Velocidad de una  partícula situada en el punto x = 3 cm en cualquier instante.

Solución: a) A = 5 cm; v = 60 cm/s. b) distancia entre nodos = 6 cm; entre nodo y vientre = 3 cm. C) v = 0 independientemente del tiempo.

8. Una horquilla colocada verticalmente, está animada de un movimiento sinusoidal, de frecuencia f = 200 Hz, de amplitud A = 1 mm perpendicular a la superficie de un líquido. Las perturbaciones producidas en dos puntos O₁ y O₂ se propagan en la superficie del líquido a la velocidad c = 120 cm/s. Calcular:

a) El estado vibratorio de un punto P situado a 18 mm de O₁ y 9 mm de O₂.

b) El número y posición de los puntos inmóviles e todo instante y situados en el segmento O₁ y O₂. Longitud del segmento O₁O₂ igual a 2L = 1,4 cm.

Solución: a) permanece inmóvil en todo momento. B) d₁ = 0,25 cm; d₂ = 0,55 cm; d₃ = 0,85 cm y d₄ = 1,15 cm.

9. Una cuerda horizontal, de longitud L = 1,20 m, sometida en uno de sus extremos, A, a vibraciones sinusoidales de frecuencia f = 100 Hz, entra en resonancia. Entre sus extremos A y B, que está fijo, aparecen 4 vientres cuya amplitud de vibración es a = 1 cm. Calcular:

a) La velocidad c de propagación de las ondas.

b) La velocidad máxima de un punto de la cuerda que corresponde a un vientre.

c) La amplitud de las vibraciones del punto de la cuerda situada a 0,35 m de A.

Solución: a) c = 60 m/s; b) v max = 6,28  m/s ; c) a = 0,5 cm.

10. Calcular la frecuencia fundamental y los dos primeros armónicos de un tubo de 15 cm de longitud:

a) Cuando está abierto por ambos extremos.

b) Cuando está cerrado por un extremo.

c) ¿Cuántos armónicos además del tono fundamental puede percibir una persona de oído normal en cada unos de los casos anteriores? (Velocidad del sonido en el aire 330 m/s)

Solución: a) f =  = 1.100 Hz; primer armónico: 2.200 Hz; segundo armónico = 3.300 Hz; b) La frecuencia emitida por un tubo cerrado es: N = (2k – 1) V/4L=550 Hz; primer armónico: 1.650 Hz; segundo armónico = 2.750 Hz; c) Un oído normal puede percibir los sonidos cuyas frecuencias estén comprendidas en el intervalo de 20 a 20.000 Hz. En el caso del tubo abierto un oído normal puede percibir 17 armónicos además del sonido fundamental ya que la frecuencia del armónico número diecisiete es : f17 = 19.800 < 20.000 Hz

11. Si la intensidad de un sonido aumenta 1.000 veces:

a) ¿Cuántos decibelios aumentará el nivel de presión sonora?

b) ¿Cuántas veces aumenta la amplitud de la variación de dicha presión?

Solución: a) 30 decibelios; b) 31,62 veces.

12. Calcular cuántos focos sonoros iguales son necesarios para alcanzar un nivel de intensidad sonora de 70 decibelios si uno solo tiene un nivel de intensidad sonora de 40 decibelios.

Solución: Se necesitan 1.000 focos de 40 decibelios.

13. a) La potencia de entrada de un amplificador es p₀ = 0,5 watios. ¿Cuál debe ser la potencia de salida para obtener una ganancia de 10 decibelios?

b) Un amplificador eleva la tensión de entrada desde V₀ = 5 voltios hasta V₁ = 100 voltios. ¿Cuál es en decibelios la ganancia de dicho amplificador?

Solución: Según la ley de Weber-Fechner, las variaciones de las sensaciones sonoras, vienen dadas por la expresión : S1-S2 = 10 log P1/P0 de donde P1 = 5 watios. B) 26 decibelios.

14. a) Se quiere saber si el claxon de un automóvil, con un nivel acústico de 75 decibelios a 5 metros de distancia, garantiza un nivel acústico superior a 60 decibelios a 20 metros y mayor de 50 decibelios a 50 metros de distancia.

b) Determinar la tensión V₂ de salida de un amplificador cuya tensión de entrada es V₁ = 5 voltios, para que el incremento de nivel acústico, de dicho amplificador sea de 20 decibelios, sabiendo que las intensidades sonoras son proporcionales a los cuadrados de las tensiones.

Solución: a) 55 decibelios; b) Las intensidades son proporcionales al cuadrado de las tensiones por tanto: S2 – S1 = 10 log , por tanto V2 = 50 voltios.

15. Dos altavoces A₁ y A₂, emiten ondas sonoras uniformemente en todas las direcciones dentro de un medio isótropo. El A1 tiene una potencia acústica de 8·10^-4 w y el B de 13,5·10^-4 w. Tomando como nivel de referencia de intensidad I₀ =10^-16 w/cm², como velocidad del sonido c = 340 m/s y sabiendo que ambos altavoces vibran en fase con una frecuencia de f = 170 Hz, calcular:

a) La diferencia de fase de las dos señales que llegan a un punto P, situado a x₁ = 3 m de A₁ y a x₂ = 4 m de A₂.

b) La intensidad que produce A₁ en P si no emite A₂, y la intensidad en P producida por A₂ sino radia A₁.

c) La intensidad y la sensación sonora en P cuando emiten simultáneamente ambos altavoces.

Solución: a) 180º; b) 6,71·10^-6 watios/m²; c) 73,92 decibelios.