CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA.

1.- Una partícula se mueve según la ecuación: s = 4 t² + 2 t + 3 en unidades SI. Calcular: a) el desplazamiento en t = 0; b) la velocidad inicial v_o; c) la velocidad en el instante t = 2 s; d) la aceleración del movimiento.

Solución: s₀ = 3 m; v₀ = 2 m/s ; v = 18 m/s ; a = 8 m/s²

2.- Determinar las constantes de un movimiento uniformemente variado, si el móvil tiene una velocidad de 17 m/s a los 4 s de empezar a contar el tiempo; y, en los tiempos t1 = 2 s y t2 = 4 s dista del origen 12 y 40 m, respectivamente. Representar las gráficas s - t, v - y y a - t del movimiento.

Solución: s₀ = -4 m; v₀ = 5 m/s ; a = 3 m/s²

3.- Un movimiento plano referido al sistema (0; i,,j) viene descrito por las ecuaciones paramétricas:  Determinar la ecuación de la trayectoria, la velocidad y la aceleración del móvil.

Solución: y = 2x-5 ; v =  m/s ; a =  m/s²

4.- Un coche viaja de noche a 72 km/h y de repente encuentra un camión estacionado a 30 m de distancia. Frena con la máxima aceleración negativa de 5 m/s². Calcular: a) el tiempo que tarda en detenerse; b) ¿choca con el camión?

Solución: t = 4 s; si.

5.- Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con velocidad v_o = 100 m/s. Medio segundo después, con la misma arma, se dispara un segundo proyectil en la misma dirección. Determinar:
a)     La altura a la que se encuentran ambos proyectiles.
b)     La velocidad de cada uno al encontrarse.
c)      El tiempo transcurrido desde el primer disparo hasta el choque. Se desprecian los rozamientos.

Solución: h = 510 m; v₁ = - 2,41 m/s ; v₂ = 2,49 m/s

6.- Sobre una placa elástica caen libremente dos bolas de acero. La primera cae desde una altura h₁ = 44 cm y la segunda, transcurrido un lapso de tiempo t después de la primera, siendo la altura h₂ = 11 cm. Al pasar cierto tiempo, las velocidades de las bolas coinciden tanto por su valor como por la dirección. Determinar el lapso de tiempo, durante el cual las velocidades de ambas bolas serán iguales. Las bolas no chocan.

Solución: t= 0,3 s

7.- Un paracaidista salta de un avión y cae 50 m, sin rozamiento del aire. Abre el paracaídas en ese punto y el aire lo frena con aceleración de 2 m/s², llegando al suelo con una velocidad de 3 m/s. Determinar, si el avión iba a 600 km/h: a) el tiempo que estuvo en el aire el paracaidista; b) la altura de la que se tiró.

Solución: t = 17,32 s ; h = 292 m.

8.- El vector de posición de una partícula P es: r = 3t i - t² j + 8 k en unidades SI. Hallar: a) la velocidad de la partícula a los 2 minutos de iniciado el movimiento; b) las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura de la trayectoria a los 2 s.

Solución: v = 240 m/s ; a_t = 1,6 m/s² ; a_n = 1,2 m/s² ; R = 20,8 m

9.- Un cohete se dispara verticalmente y sube con aceleración de 20 m/s² durante un minuto. En ese instante se acaba el combustible y sigue moviéndose como partícula libre. Tomando g_o como constante, calcular: a) la altura máxima alcanzada; b) el tiempo que está el cohete en el aire.

Solución: h_m = 109,5 km; t = 331 s.

10.- La posición de un objeto está relacionada con el tiempo por la ecuación: x = A·t² – B·t + C, siendo A = 8 m/s²; B = 6 m/s y C = 4 m. Determinar: a) ¿es uniformemente acelerado el movimiento?, ¿por qué?; b) la velocidad del móvil al cabo de 1 s.

Solución: a = 16 m/s² ; v = 10 m/s

11.- Se lanza una pelota con velocidad inicial v de componentes: v_x = 20 m/s, y v_y = 16 m/s. Calcular: a) el tiempo que está subiendo; b) la altura que alcanza; c) la distancia a que se debe encontrar otro jugador de la misma talla para devolver la pelota.

Solución: t = 1,6 s ; y = 13 m ; x = 65 m.

12.- En un duelo del lejano Oeste un pistolero dispara horizontalmente una bala con velocidad de 200 m/s desde una altura de 1,25 m. Calcular la distancia mínima entre los adversarios situados en plano horizontal, para que la presunta víctima no sea alcanzada.

Solución: R_x = 101 m

13.- Un sólido parte sin velocidad inicial del punto más alto de un plano inclinado de 1 m de longitud que forma un ángulo de 30º con la horizontal; se prescinde de rozamientos. Al abandonar el plano inclinado se mueve en caída libre. Calcular el instante en que su velocidad forma un ángulo de 60º con la horizontal, a contar desde el punto de partida.

Solución: t = 0,96 s

14.- El famoso cañón Berta (de la 1ª Guerra Mundial) tenía un alcance máximo de 100 Km. Despreciando la resistencia del aire, calcular: a) la velocidad del proyectil al salir por la boca del cañón; b) la altura máxima del proyectil en tiro vertical.

Solución: v = 990 m/s ; h = 50 km.

15.- Un tren se desplaza con velocidad v₁, y el maquinista observa que, a una distancia d marcha un mercancías por la misma vía y en el mismo sentido, con velocidad menor v₂, Frena y da a su tren una aceleración constante a. Demostrar que si no hay choque; pero si ,hay choque. (Es instructivo dibujar cualitativamente las gráficas distancia- tiempo para cada tren).

16.- Un avión de bombardeo baja en picado a una velocidad de 700 km/h, formando un ángulo de 45º con la horizontal. Cuando está a una altura de 400 m sobre el suelo suelta una bomba. Calcular; a) el tiempo que tarda en llegar al suelo; b) la velocidad con que llega; c) el punto en que cae (distancia a la vertical del avión en el instante de lanzamiento).

Solución: t = 2,66 s ; v = 213 m/s; x = 365,75 m.

17.- Un jugador lanza una pelota formando un ángulo de 37º con la horizontal y con velocidad inicial de 14,5 m/s. Un segundo jugador que está a 30,5 m de distancia del primero en la dirección del lanzamiento inicia una carrera para encontrar la pelota, en el instante de ser lanzada. Hallar la velocidad con que debe correr para coger la pelota antes de que caiga al suelo.

Solución: v = 5,6 m/s

18.- Una partícula lleva la velocidad de 6 m/s en un instante dado y su aceleración es de 8 m/s². Si sus vectores representativos forman un ángulo de 60º, calcular: a) las componentes tangencial y normal de la aceleración; b) el radio de curvatura en ese instante.

Solución: at = 4 m/s² ; an = 6,93 m/s ; R = 5,19 m

19.- La velocidad angular de un volante disminuye uniformemente de 900 a 800 vueltas por minuto en 5 s. Calcular: a) la aceleración angular del movimiento; b) el número de vueltas que da en esos 5 s; c) el tiempo que tarda en detenerse, a partir de ese instante.

Solución: a = - 2,1 rad/s² ; n = 70,8 vueltas ; t = 40 s

20.- Una partícula describe una trayectoria circular según la ecuación: w = 3 t² - 2t + 4, siendo w la velocidad angular en rad/s, y t el tiempo en segundos. Para t = 2 s. ha recorrido un ángulo de 12 rad. Hallar el ángulo para t = 4 s.

Solución : j = 64 radianes

21.- Una partícula describe la trayectoria dada por las ecuaciones: x = t ; y = t² en unidades SI. Cuando pasa la partícula por la posición (1,1) determinar su velocidad y aceleración, así como las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura.

Solución: v = 2,24 m/s ; a = 2 m/s² ; at = 1,79 m/s² ; an = 0,89 m/s²

22.- Un avión en vuelo horizontal a la altura de 300 m y velocidad de 72 m/s desea batir un barco que se desplaza a 24 m/s en la misma dirección y sentido que el avión. Determinar a qué distancia, desde la vertical del avión, debe soltar la bomba para lograr el impacto; ¿cuál sería esa distancia si el barco se moviera en sentido contrario hacia el avión?

Solución: x₁ = 376 m; x₂ = 751 m

23.- Un globo se eleva verticalmente con velocidad de 4,9 m/s y abandona un peso en el instante en que el globo está a 19,2 m del suelo. Calcular: a) la posición y la velocidad del peso al cabo de 1/4 s; 1/2 s; 1 s y 2 s; b) el tiempo que tarda en llegar al suelo; e) la velocidad del peso en ese punto.

Solución: h₁ = 0,92 m ; h₂ = 1,125 m ; h₃ = 0 m ; h₄ = - 9,8 m ; v₁ = 2,45 m/s ; v₂ = 0; v₃ = - 4,9 m/s ; v₄ = - 14,7 m/s ; t = 2,54 s ; v = 20 m/s.

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