1 minuut Rekenkunde Analyse  Meetkunde Statistiek Menu's, icoontjes... 
Wiskundige objecten Lineaire algebra Functies 2D-grafieken Combinatieleer
WIRIS ++ Vergelijkingen en stelsels  Rijen 3D-grafieken   Meeteenheden
Analyse  

Binnen het domein van de wiskunde legt de analyse zich toe op de studie van functies.

>>snel   
 Afleiding  
 Integratie  Berekening van de primitieven
Bepaalde integraal
 Berekenen van limieten  Limiet
Linker- en rechterlimiet
 Series van Taylor  
 Series  


 Afleiding

Om af te leiden gebruiken we het icoontje , het commando afgeleide ofwel het teken ', dat overeenkomt met het weglatingsteken.

Als we op het icoontje klikken , verschijnt de gebruikelijke uitdrukking van de afleiding naar een variabele, met twee lege groene vakjes. In het bovenste vakje schrijven we de uitdrukking die we willen afleiden en in het onderste de variabele waarnaar we willen afleiden.

Het commando afgeleide ontvangt 2 argumenten, waarvan het eerste overeenkomt met de uitdrukking en het tweede met de variabele waarnaar we willen afleiden. Als het een functie met slechts één variabele betreft, kan men het tweede argument weglaten.

We gebruiken de operator ' na de uitdrukking die we wensen af te leiden, zoals gebruikelijk is in wiskunde. Merk op dat hier niet kan worden uitgedrukt welke de variabele is waarnaar we wensen af te leiden, waardoor wiris deze variabele automatisch opspoort. Indien deze operator toegepast wordt op een uitdrukking met meer dan één variabele, krijgt men een foutmelding.

De operator ' kan ook gebruikt worden om functies af te leiden. Inderdaad, indien f=f(t) een functie van één variabele is, is f' de afgeleide functie (van f naar t). De afgeleide van f in een punt a is dus de waarde van f'(a), volgens de gebruikelijke notering in analyse. Enkele voorbeelden.



 Integratie




Berekening van de primitieven 

Om de primitieve functie van een gegeven functie te berekenen gebruiken we de icoontjes Icoontje of , ofwel het commando integreer.

Als we op het icoontje klikken , verschijnt de gebruikelijke uitdrukking van de primitieve functie naar een variabele, met twee lege groene vakjes. In het eerste moeten we de uitdrukking schrijven die we willen integreren en in het tweede, de variabele waarnaar we wensen te integreren. Als f de functie is die we wensen te integreren, F het resultaat van de integratie en x de variabele waarnaar we integreren, zeggen we dat F een primitieve functie (of primitieve uitdrukking) is van f en is de afgeleide van F naar x f.

Als alternatief kunnen we gebruik maken van het commando integreer met twee argumenten, waarvan het eerste overeenkomt met de uitdrukking en het tweede met de variabele.

Als er geen twijfel bestaat over de variabele waarnaar we willen afleiden, kunnen we de primitieve functies ook berekenen met het icoontje . Door op het icoontje te klikken, verschijnt er een leeg groen vakje waarin we de functie schrijven die we willen integreren.

Indien de uitdrukking die we willen integreren geen variabele heeft, integreert wiris naar een fictieve variabele; indien we één variabele opgeven, integreert het programma naar deze variabel en indien we meer dan één variabele opgeven, krijgen we een foutmelding. Het resultaat is in ieder geval een primitieve functie of uitdrukking van het argument.

We gebruiken het commando integreer met één enkel argument als alternatief voor het icoontje ; alles wat beschreven is voor het icoontje, is ook van toepassing op het commando.





Bepaalde integraal 

Om de bepaalde integraal tussen twee waarden te berekenen, gebruiken we de icoontjes of , ofwel het commando integreer. wiris probeert de primitieve van de functie te berekenen en de regel van Barrow toe te passen. Daarvoor moet het programma de primitieve functie evalueren die verkregen is in de specifieke waarden opgegeven als integratielimieten en een aftrekking uitvoeren; indien deze primitieve functie niet wordt gevonden, wordt de waarde van de integraal berekend met numerieke methodes (en verschijnt er bovendien een waarschuwingsbericht).

Als we op het icoontje klikken, verschijnt het standaardsymbool van de bepaalde integraal, met vier lege groene vakjes. De vakjes die zich onder- en bovenaan het integraalsymbool bevinden, komen respectievelijk overeen met de onder- en bovenlimieten van de integratie. In het eerste van de andere twee vakjes schrijven we de uitdrukking die we willen integreren en in het tweede de variabele waarnaar we wensen te integreren.

Als alternatief gebruiken we het commando integreer met vier argumenten, waarvan het eerste overeenkomt met de uitdrukking, het tweede met de variabele en het derde en vierde met respectievelijk de onder- en bovenlimiet waartussen we willen integreren.

Als er geen twijfels bestaan over de variabele waarnaar we willen integreren, kunnen we bepaalde integralen ook berekenen met het icoontje . Als we op het icoontje klikken, verschijnt het standaardsymbool van de bepaalde integraal, met vier lege groene vakjes. De vakjes onder- en bovenaan het integraalteken, komen respectievelijk overeen met de onder- en bovenlimiet. In het derde vakje schrijven we de functie of uitdrukking die we willen integreren. Als de te integreren uitdrukking geen variabelen heeft, zal deze geïntegreerd worden naar een fictieve variabele; als de uitdrukking over slechts één variabele beschikt, zal naar deze variabele worden geïntegreerd; indien er meerdere variabelen zijn, krijgen we een foutmelding.

Als alternatief gebruiken we het commando integreer met drie argumenten, waarvan het eerste overeenstemt met de functie of uitdrukking die we wensen te integreren en het tweede en derde respectievelijk met de onder- en bovenlimieten, waartussen we willen integreren.



 Berekenen van limieten
Om de limieten van functies te berekenen, gebruiken we de icoontjes , of , ofwel het commando limiet.



Limiet 

Als we op het icoontje klikken, verschijnt het standaardsymbool van de limiet, met drie lege groene vakjes. In het bovenste vakje, rechts van lim, moeten we de uitdrukking schrijven waarvan we de limiet willen berekenen. In het eerste vakje onderaan schrijven we de variabele van de limiet en in het tweede de waarde die we wensen te benaderen. Indien we het commando limiet gebruiken in plaats van het icoontje, kunnen we de limiet van de functie f wanneer x neigt tot de waarde a op de volgende manieren schrijven:

limiet(f,x->a)

limiet(f,x,a)
Merk op dat we met het icoontje een symbool kunnen creëren dat equivalent is aan -> .

De waarde van a kan een reëel getal zijn ofwel de waarden plus oneindigheid (icoontje ), min oneindigheid (icoontje ) of oneindigheid zonder teken (icoontje ).





Linker- en rechterlimiet 

Met de icoontjes en kunnen we de respectievelijke rechter- en linkerlimieten berekenen. De parameters van de lege vakjes zijn dezelfde als voor het icoontje .

Ook om de linker- en rechterlimieten te berekenen, gebruiken we het commando limiet. Om de limiet van de functie f te berekenen, wanneer x neigt naar a aan de rechterzijde (of aan de linkerzijde), kan zonder onderscheid elk van de twee onderstaande uitdrukkingen gebruikt worden:

limiet(f,x->a,1) (aan de linkerzijde, limiet(f,x->a,-1) )

limiet(f,x,a,1) (aan de linkerzijde, limiet(f,x,a,-1) )



 Series van Taylor

wiris staat ons toe de ontwikkeling in serie van Taylor van een reële functie in een punt te berekenen.

Om de serie van Taylor van een functie in een punt te berekenen, gebruiken we het commando taylorreeks met drie argumenten, waarbij het eerste overeenstemt met de functie, het tweede met de variabele en het derde met de waarde waarin we de serie van Taylor wensen te vinden (denk eraan dat we met de serie van Taylor een willekeurige functie in een bepaald punt kunnen benaderen). Indien we een bepaalde hoeveelheid termen van de serie (die oneindig is) in beeld wensen te brengen, kunnen we deze hoeveelheid in een vierde argument specificeren.

Om de veelterm van Taylor van een bepaalde orde van een willekeurige functie te verkrijgen, gebruiken we het commando taylor, gevolgd door de vier argumenten die we net beschreven hebben. Merk op dat het vierde argument nu onmisbaar is.



 Series

wiris kan de convergentie van series bepalen en ook de som van de convergente series berekenen.

Om een serie te schrijven, gebruiken we de wiskundie standaardnotatie, zoals in onderstaande voorbeelden. Het antwoord dat we verkrijgen, is de waarde van de som van de serie indien deze convergent is (of indien deze divergent is maar wiris de overeenstemmende oneindige waarde kan berekenen) en de eigen serie in andere gevallen.

Om aan wiris de convergentie van een serie te vragen, gebruiken we het commando convergent?, en schrijven we als enig argument de eigen serie.

mathsformore.com powered by WIRIS

©2003 maths for more sl. Alle rechten voorbehouden. Wettelijke waarschuwing