El problema de las abejas y las dos estancias
Problema:
En una estancia
hay inicialmente tres abejas y en otra contigua ninguna. Cada segundo hay una
abeja de las tres (al azar) que cambia de estancia.
Como término
medio ¿cuántos segundos harán falta para que pasen todas
las abejas de la primera a la segunda estancia?
- ¿Cuál
es tu impresión inicial? ¿Crees que harán falta más
o menos de 10 segundos? ¿más o menos de 20?
Simulación:
Clicar sobre el
play para simular la situación.
Hacer clic sobre
el botón actualizar de arriba a la derecha (
)
para una nueva simulación.
Tras observar los
resultados en varias simulaciones...
- ¿Cuál
es ahora tu impresión? ¿Ha variado respecto a la inicial?
- ¿Observas
alguna regularidad en los resultados?
- ¿Cuál
es el tiempo mínimo necesario? ¿Por qué?
Sugerencias para la Resolución del Problema:
- ¿Cuáles
son los diferentes estados posibles (teniendo en cuenta el número de
abejas en cada estancia) transcurrido un tiempo determinado? Estudia las probabilidades
correspondientes para pasar de un estado a otro.
- Haz un grafo
o diagrama incluyendo esos estados posibles y los caminos entre ellos, con
sus respectivas probabilidades.
- Imagina un número
elevado de fichas (por ejemplo 600) que partiendo del estado inicial irán
recorriendo el grafo en cantidades proporcionales a las probabilidades correspondientes.
¿Cuántas de ellas llegarán al éxito al
cabo de 3 segundos?
- ¿Cómo
se ha de interpretar ese resultado?
- ¿Y al
cabo de 4 segundos? ¿Y de 5?... (Recurre a una tabla para manejar los
datos)
- Intenta encontrar
la fórmula que dé la probabilidad de que las tres abejas alcancen
la segunda estancia al cabo de n segundos.
Variaciones y generalización del Problema:
- Estudiar
el mismo problema para 2 o 4 abejas.
- ¿Te atreves con
el caso general de a (o n) abejas? Si encuentras
alguna regla recurrente, la hoja de cálculo puede ayudarte a ir obteniendo
los valores buscados.
Creado con GeoGebra por Manuel Sada.
Agosto 2010.