El problema de los patos
Problema:
Diez cazadores,
todos de élite (siempre aciertan el disparo), están dispuestos
a cazar patos.
Cada cazador sólo puede hacer un disparo y no sabe a qué patos
disparan los otros cazadores. Disparan al mismo tiempo, eligiendo cada uno un
pato al azar.
¿Cuántos
patos sobrevivirán por término medio?
- ¿Cuál
es tu impresión inicial? ¿Crees que sobrevivirán más
o menos de la mitad?
Simulación:
Para simular sucesivas
tandas de disparos, puedes usar el deslizador central para pasar alternativamente
de "apunten" a "fuego", o bien darle al botón play
(pause para detener)
- ¿Cuál
es ahora tu impresión? ¿Ha variado respecto a la inicial?
- Toma nota del
resultado tras 20 o 30 simulaciones y calcula el promedio del número
de supervivientes (hemos preferido romper globos a matar patos :-).
Sugerencias para la Resolución del Problema:
- Intenta resolver
variaciones más sencillas del problema: para 2 cazadores y 2 globos,
para 3 y 3...
Quizás lo
anterior te conduzca a comprobar la creciente complejidad de intentar el recuento
de todas las posibles elecciones de los cazadores y sus correspondientes números
de globos supervivientes. Por ello te sugerimos intentar otra vía:
- En el caso de
que sean 3 cazadores y 3 globos, ¿cuál es la probabilidad de
que sobreviva el globo nº 2?
- ¿Y de
que sobreviva el nº 1?
- Por tanto, si se repitiese
el experimento (con 3 cazadores y 3 globos) 1000 veces, en cuántas
de ellas cabe esperar que sobreviviese el globo nº 2? ¿Y
los demás globos?
- Calcula (a partir del
total de las supervivencias esperables tras esos 1000 experimentos) el promedio
del número de supervivientes.
- ¿Coincide tu resultado
con el obtenido al estudiar todos los casos posibles?
- Intenta extender el mismo
método de resolución para 4 cazadores y 4 globos, 5 y 7,...
10 y 10.
Ampliación o profundización en el Problema:
Cabe la posibilidad de estudiar
el caso general y concretar la probabilidad de que sobrevivan s
de p patos disparados por c cazadores buscando una
pauta recurrente. Por ejemplo, para 5 cazadores y 3 patos, imaginemos que podemos
observar mediante una cámara mágica los tres disparos sucesivamente.
La probabilidad de que sobreviva 1 pato sería: P(5,3,1) = P(4,3,1).1/3+P(4,3,2).2/3
.
Posteriormente habría
que usar una hoja de cálculo para que fuese ella quien realice los engorrosos
cálculos. Así es como se han determinado esas probabilidades para
valores de s, p y c entre 1
y 10 en la siguiente escena:
Creado con GeoGebra por Manuel Sada.
Agosto 2010.